Grabado de Adam Riese, del siglo XVI, ilustración de un texto de aritmética

El problema con el que Federico II retó a uno de los matemáticos más asombrosos de la Historia

El excéntrico emperador convocó un torneo matemático público para comprobar cómo se las arreglaba el genial Fibonacci

Alfonso J. Población
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Hace unas semanas hablábamos de uno de los certámenes que se celebran a lo largo de todo el mundo para detectar jóvenes con altas capacidades científicas y así poder orientarlos, si lo desean, con vistas a su futuro profesional. Como no dejan de ser chavales de corta edad, estos eventos suelen ir acompañados de otras actividades lúdicas y festivas, no sólo conferencias, pruebas, etc., de hecho, esas últimas suelen presentarse tipo concurso, juego, algo ameno en la medida de lo posible. Era Odisea de la Mente, y aparecía en la película «El pequeño Tate» (Jodie Foster, EE.UU., 1991). Se trata de un programa de educación internacional que promueve oportunidades para la resolución creativa de problemas para estudiantes desde educación infantil hasta universitaria. No es, sin embargo, un evento específicamente matemático sino más orientado a la ingeniería: los retos planteados van desde construir aparatos mecánicos hasta la presentación de su propia interpretación de los clásicos de la literatura. Como en las Olimpiadas matemáticas, primero compiten en su localidad, luego a nivel regional, después a nivel nacional y por último acceden a las finales mundiales. Aunque surgió hace cuatro décadas en los EE.UU. (fue creada por Samuel Micklus, profesor emérito de la Universidad de Rowan en New Jersey, en 1978), en la actualidad participan cerca de 25 países de todo el mundo (España no participa: las finales son en los EE. UU., y queda un poco lejos).

Sirva esta referencia (otras serían las Olimpiadas Matemáticas, o a otro nivel, el Canguro Matemático) como ejemplo de torneo matemático. Aunque creamos lo contrario, estas modalidades no son una ocurrencia actual. Retrocedamos al siglo XIII, a la corte del “peculiar” emperador del Sacro Imperio Romano Germánico, Federico II. Si echan un ojo a sus andanzas descubrirán un personaje tildado de excéntrico -de hecho se le apodó stupor mundi-que, según las crónicas, pasaba completamente de las ideas medievales predominantes, dominaba nueve lenguas y escribía en siete de ellas. Además, gustaba de la poesía, la filosofía, la astronomía, las matemáticas, la medicina y las ciencias naturales, algo que no encajaba en su época, bullidora en intrigas políticas y en meterse en guerras por conquistar territorios como fuera (lo mareaban para que organizara una nueva cruzada para recuperar los lugares sagrados). Cuando se puso a ello, tuvo fuertes desavenencias con el Papado, cuya forma de actuar consideraba el origen de muchos de los males del momento, motivo por lo que fue calificado incluso de Anticristo. Tuvo tiempo además para tener tres esposas, un montón de amantes, y una descendencia amplísima, entre hijos legítimos e ilegítimos. En fin, todo un personaje.

En el año 1225, Federico II pasaba por la ciudad italiana de Pisa. Sabía que allí vivía un experto en cálculos apodado Fibonacci, y quiso conocerlo personalmente y, sobre todo, observar cómo se desenvolvía, si esa fama que lo precedía era o no justificada.

Para comprobarlo, convocó un torneo matemático público. Le plantearon tres problemas, que han perdurado gracias a que los incluyó en uno de sus libros. En uno de ellos debía resolver una ecuación cúbica (recordemos que no se encontraría una fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado hasta trescientos años después. Ver esta entrada anterior del ABCdario). Si recuerdan la reseña que dediqué a Omar Khayyam, éste utilizaba argumentos geométricos para intentar resolver este tipo de ecuaciones, valiéndose de sus conocimientos de las curvas cónicas. Básicamente reducía la ecuación de grado a cambio de introducir una nueva ecuación (la de una cónica). Leonardo de Pisa, que tal era el nombre de Fibonacci, se apoyaba en lo que Euclides manifestó en el libro X de sus Elementos, prácticamente el único tratado de carácter matemático conocido universalmente en aquel momento. Retomemos la ecuación cúbica que comentamos allí

y que se planteaba en la película que nombramos al inicio de estas líneas. La idea es empezar suponiendo que la ecuación tiene solución natural (los enteros negativos aún no se consideraban soluciones aceptables), si no la encontramos por simple tanteo, pasamos a suponer que es racional (es decir de la forma m/p, con m y p números naturales primos entre sí), y después sucesivamente con números de la forma

y llegar, o bien a una contradicción, o bien, a una solución.

En realidad, con la ecuación ejemplo, Fibonacci llegaría rápidamente a una solución, ya que, aun no dándose cuenta de que x = 5 fuera una solución, si suponemos que es racional, o sea de la forma x = m/p, al sustituir se tiene que

Es claro que la igualdad se verifica si m = 5p (lo que nos lleva a que m/p = 5, que es solución) o si m² + 10 mp + 8 p² = 0, ecuación de segundo grado cuyas soluciones resultan ser m = p (sqrt(17) – 5), m = – p (sqrt(17) + 5), es decir las otras dos raíces.

Sin embargo, para la ecuación que le plantearon a Fibonacci, no llegaríamos a ninguna parte. Veamos:

Desde luego, solución entera no tiene, porque si sustituimos x por 1, obtenemos un número negativo, –7, y si lo hacemos por x = 2, nos da 16. Aunque el teorema de Bolzano no se había “descubierto” aún, ni la representación gráfica de una función, “parece” que la raíz tendrá que estar entre 1 y 2, siendo por tanto un número racional. Pero si hacemos lo mismo que en el caso anterior, la expresión a la que llegamos es

Si esa expresión tuviera solución, el numerador tiene que ser múltiplo de p³ , y por tanto múltiplo de p. Como los dos últimos sumandos del numerador son múltiplos de p, para que el numerador entero sea múltiplo de p, también debe serlo m³ . Entonces m/p sería un número entero llegando a una contradicción con que era un número racional. A razonamientos similares llegamos con el resto de sustituciones. No es extraño ya que la solución es

y las otras dos son complejas conjugadas. Fibonacci no llegó a esta solución, pero dio una aproximación en términos de fracciones sexagesimales

La solución real en modo aproximado es 1.368808107826056, y la de esta fracción es 1.368807876371827, es decir, seis cifras correctas. Lo curioso es que no se conoce cómo llegó a tal solución. No debemos pues subestimar los conocimientos del pasado, ni siquiera del medievo.

Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503)
Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503)

Leonardo de Pisa, Fibonacci, era ya mayor en esa época (en torno a los cincuenta años; Federico II apenas llegaba a la treintena), y su fama estaba justificada por la enorme difusión e influencia del Liber Abaci, el tratado sin duda más importante de toda la Edad Media, en el que introduce los número indo-arábigos en Europa. Como seguramente el lector conocerá, Fibonacci fue también responsable de la famosa sucesión que lleva su nombre (1, 1, 2, 3, 5, 8, …, cada número es suma de los dos anteriores) presente en muchos fenómenos de la Naturaleza.

Otros torneos muy populares en la Edad Media y el Renacimiento fueron los duelos entre algebristas (o algoristas) y abacistas. Son populares algunos grabados que así lo confirman, como la llamada Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503) o los de Adam Riese, también del siglo XVI que servían como ilustraciones de los textos de aritmética.

Por cerrar otros frentes abiertos, la altura de Beatriz, en la cuestión propuesta en mi última entrada, era en efecto la C, 143 cm., y el razonamiento de los lectores, es correcto.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.