Jackson Pollock, trabajando en su estudio
Jackson Pollock, trabajando en su estudio - Archivo

Las matemáticas escondidas detrás de las pinturas de Jackson Pollock

El trabajo del genial artista consistía en estructruas fractales, ciertos patrones que se repiten una y otra vez en varios niveles

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El nombre y, en parte, el concepto de fractal es quizás uno de los más conocidos de las matemáticas recientes por las personas ajenas a las matemáticas. Se utiliza en el análisis de situaciones muy diversas. Hoy aquí nos vamos a referir a su relación con el trabajo de uno de los pintores contemporáneos más reconocidos: Jackson Pollock.

La palabra fractal aparece por primera vez en 1975, cuando B. Mandelbrot (1924-2010) publicó ‘Les objets fractales: Forme, hasard et dimension’, en cuya introducción decía: ‘El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos objeto fractal y fractal, términos que he inventado (…) a partir del adjetivo latino fractus,...’. Más tarde Mandelbrot propuso la siguiente definición: ‘Un fractal es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica’.

Para situar esa definición, recordemos que los objetos geométricos ‘clásicos’, esos que se estudian en la escuela, tienen dimensiones enteras: 0 el punto, 1 la recta, 2 el plano, 3 el espacio. En los fractales se define su ‘dimensión fractal’ que es un número decimal, lo que nos conecta con el origen de la palabra. Al estar situada entre dos números enteros, no se pueden tratar como un volumen o un área normales.

Si la dimensión fractal está entre 0 y 1, es un conjunto de puntos alineados que no llega a constituir una recta, a pesar de ser infinitos y estar infinitamente próximos entre sí, como pasa en el llamado ‘conjunto de Cantor’, que se puede construir haciendo los siguientes pasos:

1.- Se toma el intervalo [0, 1].

2.- Se quita su tercio interior: el intervalo abierto (1/3; 2/3).

3.- Se quita a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores: los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).

Siguientes.- Se quita el tercio interior de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.

Fernando Corbalán. Universidad de Zaragoza. Miembro de la Comisión de divulgación de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la RSME.