Lotería de Navidad
El número misterioso 6174: la constante de Kaprekar
Este es el número del Gordo del Sorteo Extraordinario de la Lotería de Navidad
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A la hora de elegir un número de la Lotería de Navidad , hay muchos que afirman no ser «supersticiosos» y dejar totalmente al azar, como el propio sorteo , la elección de números . «El que sea», es una de las frases más escuchadas estos días en las administraciones de Lotería, junto con el tradicional «que acabe en este número...». Porque los españoles también confiamos mucho en determinadas terminaciones, que juzgamos como potenciales candidatas para el Premio Gordo . Hay quien también elige sus dígitos «de la suerte» en base a fechas especiales o quien lleva apostando por exactamente el mismo número desde hace años. Pero puede que este año a usted le apetezca comprar una combinación de la Lotería de Navidad basada en algo más particular, que llega desde la raíz misma de la propia ciencia de los números: las Matemáticas . ¿Qué le parece apostar todo al «misterioso» número 6174 , que esconde la constante de Kaprekar ?
En 1949, el matemático indio Kaprekar de Devlali ideó un proceso que ahora se conoce como la constante de Kaprekar. Él descubrió que, llevando a cabo una serie de restas , un número de cuatro dígitos donde los números no son todos iguales (es decir, que no sean 1111, 2222, ...), las operaciones llevan inevitablemente el resultado hasta el número 6174. Una vez elegido el número, hay que reorganizar los dígitos para obtener los números más grandes y más pequeños que estos dígitos pueden formar. Si cogemos el número más pequeño y más grande obtenidos y los restamos, nos dará un dígito diferente. Después repetiremos la operación con ese nuevo número. Llegará un momento en el que la solución de la operación resultará igual a 6174. Y, a partir de ahí, el resultado será siempre el mismo.
Ejemplos prácticos
Por ejemplo: escogemos el número 2005. El número máximo que podemos hacer con estos dígitos es 5200, y el mínimo es 0025 o 25. El resultado nos dará 5175. Si reorganizamos de nuevo estos dígitos, hallaremos que el número máximo que podemos hacer con esas cifras será 7551 y el número mínimo 1557. Al repetir la operación varias veces, acabaremos encontrando el misterioso número 6174. Las operaciones son las siguientes:
5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
Cuando llegamos a 6174, la operación se repite, resultando 6174 cada vez. Llamamos al número 6174 «núcleo» de esta operación. Es por ello que decimos que 6174 es un núcleo para la operación de Kaprekar. Sin embargo, ¿es tan especial ese número? Probemos con un nuevo número, por ejemplo, 1789.
9871-1789 = 8082
8820-0288 = 8532
8532-2358 = 6174
¡Se vuelve a cumplir la regla! Los matemáticos se preguntaron si ocurriría lo mismo con números de tres dígitos que, evidentemente, tras restar no pueden dar un número de cuatro. Y sí, al aplicar la teoría de la constante de Kaprekar se repetía un nuevo número, en este caso el 495. Por ejemplo, escojamos el 753:
753 - 357 = 396
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495
El número 495 es el núcleo único para la operación con números de tres dígitos, y todos los números de tres dígitos llegan a 495 usando la operación. ¿Por qué no lo comprueba usted mismo?
Un «agujero negro matemático»
La constante de Kaprekar es un caso de « agujero negro matemático »: al igual que en Física existen agujeros negros de los que nada, ni siquiera la luz, puede escapar de ellos, en Matemáticas también se da la misma situación. Así, existen expresiones matemáticas y secuencias de operaciones que inevitablemente nos llevan a un «agujero negro» que atrae al resto de números, independientemente de la cifra de que partamos.
Un ejemplo más sencillo es elegir un número cualquiera y hallar todos sus divisores, incluyendo él mismo y el número 1. Después sumamos todos los dígitos de los divisores. Con el resultado volvemos realizar el mismo proceso, y así hasta que lleguemos al «agujero negro», que será siempre el número 15. También encontramos el problema de Collatz , que consiste en construir una sucesión tal que an+1 = an/2 si an es par, y an+1 = 3 an+1 si es impar. Al final, siempre llegaremos a un momento en que los términos con valor 4-2-1 se repetirán de forma indefinida.
Así que, ya saben. Si aún están indecisos para elegir su número para el Sorteo de la Lotería de Navidad 2020, a lo mejor las Matemáticas les dan ideas innovadoras. Y, quien sabe, si también la suerte de recibir algún premio , incluso el ansiado Gordo .
