ABCdario de las matemáticas
El teorema más largo de la Historia y otras «monstruosidades» matemáticas
Simetría, álgebra, teoría de cuerdas... El autor se adentra en un mundo de números gigantescos y casualidades que no lo son tanto
En la última reseña que redacté para esta sección ( Las matemáticas que puede esconder un dónut , 3 de Noviembre de 2017) hablábamos de los grupos finitos , y adelantábamos un hecho singular en el que, contradiciendo el célebre dicho, la ficción superaba la realidad. Como lo prometido es deuda, sirva esta nueva entrada para explicar el hecho.
Comentábamos que, en 1978, al matemático John McKay le pareció curioso que, trabajando en un campo que no tenía nada que ver con la teoría de grupos, las funciones modulares (mediante estas funciones, Andrew Wiles probó el último teorema de Fermat ), le apareciera como coeficiente de un desarrollo el número 196884, que es la suma de las dimensiones de los espacios posibles en los que se encuentra el conocido como grupo monstruo (dimensión 1 trivialmente para cualquier grupo, y dimensión 196883, la del espacio mínimo en el que puede encontrarse). Recordemos que tal grupo (denominado técnicamente como grupo de Fischer-Griess , y designado como M o también por F1), tiene
808017424794512875886459904961710757005754368000000000
elementos, es decir, aproximadamente una cantidad del tamaño de un ocho seguido de 53 ceros, más que el número de átomos existentes en miles de planetas como nuestra Tierra. Imaginemos construir la tabla de multiplicación del grupo: una cuadrícula de ese número de filas por esa misma cantidad de columnas, en las que se especifican los resultados de operar todos los elementos dos a dos. De ahí el adjetivo con el que se bautizó.
A McKay le llamó la atención porque son números grandes, no usuales. A nadie le extraña cuando en cualquier trabajo o resolviendo un ejercicio escolar la solución es, pongamos, 16. Porque este número y sus anteriores o posteriores aparecen en muchos lugares continuamente. Pero 196883 y 196884 no son habituales. Pensó, ¿tendrán alguna relación estas dos cosas (las funciones modulares, con el grupo monstruo)? Y se lo comentó a algunos colegas. Entre ellos estaban John H. Conway y Simon Norton , que lo primero que le espetaron fue algo así como que no dijera insensateces numerológicas, utilizando el término “moonshine”, que define perfectamente la situación porque como sabemos la luna no puede emitir rayo de luz alguno, y además lo relaciona con ese tipo de “iluminados” que enseguida dan por sentado cualquier tipo de coincidencias (de ahí lo de rayo, brillo, etc.). En cualquier caso, esa hipotética relación entre las funciones modulares y el grupo monstruo quedó bautizada como conjetura moonshine.
Pero las “casualidades” no acabaron ahí. A John Thompson , medallista Fields y actualmente en la Universidad de Florida, este asunto le llamó la atención, y se le ocurrió seguir el juego. El siguiente espacio en el que existe el grupo monstruo F1 tiene dimensión 21296876. No se pierde demasiado tiempo haciendo una suma, ¿verdad?
1 + 196883 + 21296876 = 21493760
¿Y qué?, se preguntarán. ¿No se lo imaginan? Echen un vistazo al coeficiente del segundo término de la función j de Klein J(r)
Alfonso J. Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la RSME.
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