El caso de los 14 pentágonos que embaldosan un espacio infinito

Antes de comenzar, quiero compartir un problema que, a lo mejor, muchos de los lectores recuerdan de sus primeros años en la escuela. El maestro contaba una historieta como esta:

Imagina que quieres embaldosar una habitación rectangular con baldosas cuadradas, todas del mismo tamaño, pero no te apetece romper ninguna baldosa. Digamos, por ejemplo, que las dimensiones de la habitación son 360 x 405 cm2. Además, te has empeñado en utilizar baldosas del mayor tamaño posible. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de cada baldosa?

No termina aquí la historia, ya que el decimocuarto tipo de baldosa pentagonal fue descubierto por Rolf Stein en 1985 y hace un año se podía leer que desde entonces no se han encontrado más (todavía hay muchos lugares en internet que describen sólo los catorce tipos conocidos hasta ese momento, como este archivo de Geogebra).

En agosto de 2015, Alex Bellos anunció en The Guardian el descubrimiento de un nuevo tipo. Treinta años después del anterior descubrimiento, Casey Mann, Jennifer McLoud y David Von Derau, de la Universidad de Washington en Bothell, confiaron con éxito en que su ordenador pudiera realizar una búsqueda exhaustiva para dar a luz un nuevo caso (en la revista Tangente 167 puedes ver los 15 casos). ¿Será el último?

Observación final. Se ha demostrado que ningún polígono convexo con más de seis lados permite teselar el plano. El caso del hexágono fue tratado por Karl Reinhardt en su tesis doctoral de 1918, cuando probó que sólo hay tres familias de hexágonos convexos con los que se puede embaldosar un plano.

Es decir, el caso de los pentágonos es el único que no está completamente resuelto. ¿Te atreves a intentarlo? Te espera el Olimpo de las Matemáticas.

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).